ECUACIONES
LINEALES CON UNA INCOGNITA
Ecuaciones lineales en una variable.
Son aquellas donde solo aparece una variable elevada al exponente 1. Puede
usarse cualquier letra para denotar la incógnita y los coeficientes son números
reales. Mediante transformaciones equivalentes se puede llevar a la forma a x +
b = 0 (con a ≠ 0. El dominio de definición o dominio básico de estas ecuaciones
son los valores admisibles del dominio de definición de las variables.
Breve
historia de las ecuaciones lineales
En los primeros tiempos, que comprende el período
de 1700 a. de C. a 1700 d. de C., se caracterizó por la invención gradual de
símbolos y la resolución de estas. Dentro de esta etapa encontramos un álgebra
desarrollada por los griegos (300 a. de C.), llamada álgebra geométrica, rica
en métodos geométricos para resolver ecuaciones algebraicas.
Para llegar al actual proceso de resolución de la ecuación ax + b = c han pasado más de 3 000 años. Los egipcios dejaron en sus papiros (sobre todo en el de Rhid -1.650 a. de C-) multitud de problemas matemáticos resueltos, donde se encuentran algunos que se pueden clasificar como algebraicos, pues no se refieren a ningún objeto concreto. En éstos, de una forma retórica, obtenían una solución realizando operaciones con los datos de forma análoga a como hoy se resuelven dichas ecuaciones.
Las ecuaciones más utilizadas por los egipcios eran de la forma:
x+ax=b
x+ax+bx=0
Donde a, b y c son números conocidos y x la incógnita que ellos denominaban aha o montón.
Una ecuación lineal que aparece en el papiro de Rhid responde al problema siguiente: "Un montón y un séptimo del mismo es igual a 24".
En notación moderna, la ecuación sería: x + 1/7 x = 24
Para llegar al actual proceso de resolución de la ecuación ax + b = c han pasado más de 3 000 años. Los egipcios dejaron en sus papiros (sobre todo en el de Rhid -1.650 a. de C-) multitud de problemas matemáticos resueltos, donde se encuentran algunos que se pueden clasificar como algebraicos, pues no se refieren a ningún objeto concreto. En éstos, de una forma retórica, obtenían una solución realizando operaciones con los datos de forma análoga a como hoy se resuelven dichas ecuaciones.
Las ecuaciones más utilizadas por los egipcios eran de la forma:
x+ax=b
x+ax+bx=0
Donde a, b y c son números conocidos y x la incógnita que ellos denominaban aha o montón.
Una ecuación lineal que aparece en el papiro de Rhid responde al problema siguiente: "Un montón y un séptimo del mismo es igual a 24".
En notación moderna, la ecuación sería: x + 1/7 x = 24
Los Babilonios (el mayor número de documentos
corresponde al periodo 600 a. de C. a 300 d. de C.) casi no le prestaron
atención a las ecuaciones lineales, quizás por considerarlas demasiado
elementales, y trabajaron más los sistemas de ecuaciones lineales y las
ecuaciones de segundo grado.
Los matemáticos griegos no tuvieron problemas con las ecuaciones lineales y, exceptuando a Diofanto (Siglo III d. de C.), no se dedicaron mucho al álgebra, pues su preocupación era mayor por la Geometría.
Sobre la vida de Diofanto aparece en los siglos V o siglo VI un epigrama algebraico que constituye una ecuación lineal:
Los matemáticos griegos no tuvieron problemas con las ecuaciones lineales y, exceptuando a Diofanto (Siglo III d. de C.), no se dedicaron mucho al álgebra, pues su preocupación era mayor por la Geometría.
Sobre la vida de Diofanto aparece en los siglos V o siglo VI un epigrama algebraico que constituye una ecuación lineal:
El epitafio de Diofanto se
resuelve a través de una ecuación lineal
§ Transeúnte,
ésta es la tumba de Diofanto: es él quien con esta sorprendente distribución te
dice el número de años que vivió. Su juventud ocupó su sexta parte, después
durante la doceava parte su mejilla se cubrió con el primer vello. Pasó aún una
séptima parte de su vida antes de tomar esposa y, cinco años después, tuvo un
precioso niño que, una vez alcanzada la mitad de la edad de su padre, pereció
de una muerte desgraciada. Su padre tuvo que sobrevivirle, llorándole durante
cuatro años. De todo esto, deduce su edad.
Características
de las ecuaciones lineales en una variable
El lenguaje algebraico, como todo lenguaje consta
de un sistema de signos, unas relaciones entre ellos para formar frases, una
sintaxis y una semántica. El conjunto de signos con sentido forman una
frase.
La semántica estudia la correspondencia entre significantes y significados y permite distinguir de entre las frases correctamente formadas, aquellas que tienen significado. La sintaxis algebraica estudia las reglas a que han de someterse los símbolos para formar frases, algebraicamente, correctas.
Hoy día el Álgebra no es “dar significado” a los símbolos, sino otro nivel más allá de eso; tiene que ver con aquellos modos de pensamiento que son esencialmente algebraicos –por ejemplo- manejar lo todavía desconocido, invertir y deshacer operaciones, ver lo general en lo particular. Ser consciente de esos procesos y controlarlos, es lo que significa pensar algebraicamente.
La semántica estudia la correspondencia entre significantes y significados y permite distinguir de entre las frases correctamente formadas, aquellas que tienen significado. La sintaxis algebraica estudia las reglas a que han de someterse los símbolos para formar frases, algebraicamente, correctas.
Hoy día el Álgebra no es “dar significado” a los símbolos, sino otro nivel más allá de eso; tiene que ver con aquellos modos de pensamiento que son esencialmente algebraicos –por ejemplo- manejar lo todavía desconocido, invertir y deshacer operaciones, ver lo general en lo particular. Ser consciente de esos procesos y controlarlos, es lo que significa pensar algebraicamente.
Reglas
de la sintaxis del lenguaje algebraico
1. Los
signos de las operaciones no pueden ir seguidos.
2. La
letra que designa la incógnita funcionará como un número.
3. El
signo igual (=) no puede ir al lado del signo de las operaciones.
4. Los
signos de las operaciones y el de la igualdad no pueden empezar ni acabar
frase.
Dominio
básico de una ecuación lineal
Un dominio numérico, se denomina dominio básico de
una ecuación lineal, si y solo si este dominio numérico es el dominio de
individuos para la variable contenida en la ecuación.
Al sustituir la variable de la ecuación lineal por símbolos que denotan elementos apropiados de su dominio básico, esta ecuación se transforma en una proposición. El conjunto de elementos que la transforma en una proposición verdadera es su conjunto solución.
Una ecuación de la forma a x + b = 0 (con a ≠ 0; a, b Є R) en un dominio básico de solución dado que contenga más de un elemento, tiene:
Al sustituir la variable de la ecuación lineal por símbolos que denotan elementos apropiados de su dominio básico, esta ecuación se transforma en una proposición. El conjunto de elementos que la transforma en una proposición verdadera es su conjunto solución.
Una ecuación de la forma a x + b = 0 (con a ≠ 0; a, b Є R) en un dominio básico de solución dado que contenga más de un elemento, tiene:
1. Ninguna
solución, cuando al sustituir la variable por cada uno de los elementos del
dominio básico no se obtiene proposición verdadera alguna.
2. Exactamente
una solución, cuando al sustituir la variable por los elementos del dominio
básico, se obtiene una proposición verdadera en un único caso.
Las
transformaciones equivalentes en una ecuación lineal
Toda transformación de una ecuación lineal que no
conduce a ningún cambio, en el dominio básico de solución dado, se denomina
transformación equivalente de la ecuación.
Dentro de las principales transformaciones equivalentes de las ecuaciones lineales están:
Dentro de las principales transformaciones equivalentes de las ecuaciones lineales están:
Las que se realizan en cada
miembro de la ecuación.
Supresión de paréntesis.
Colocación de
paréntesis.
Simplificación y ampliación de
fracciones numéricas.
Aplicación de la ley
conmutativa de la adición y de la multiplicación.
Agrupación de términos
(adición, multiplicación, etcétera).
Las que se realizan en ambos
miembros de la ecuación al mismo tiempo. Estas son transformaciones que se
pueden fundamentar mediante la ley de monotonía.
Adición o sustracción a ambos
miembros de la ecuación, de un término T definido para todos los valores de la variable, que se pueden sustituir en la
ecuación.
Multiplicación o división de
ambos miembros de la ecuación por un término, que para todas las sustituciones
permisibles de la variable toma valores diferentes de cero.
Procedimiento
de solución de una ecuación lineal en una variable
a. Por
reflexiones lógicas: consiste en determinar cuál es el valor de la variable que
satisface la ecuación planteada mediante operaciones que se realizan
mentalmente.
b. Por
un procedimiento algorítmico: consiste en realizar una serie de pasos para
obtener la solución, que se pueden seguir como un modelo.
c. Formar
la ecuación, si parte de una situación problemicas.
d. Agrupar
términos semejantes en cada miembro de la ecuación.
e. Reducir
términos semejantes.
f. Despejar
la variable.
g. Calcular
el valor de la variable.
h. Comprobar
que el valor obtenido satisface la ecuación o la situación problemicas.
i. Escribir
el conjunto solución o dar la respuesta, si partió de una situación problemicas.
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