RAZONAMIENTO Y DEMOSTRACIÓN
El razonamiento es
una parte integrante del que hacer matemático y está conectado a los otros
procesos. Por ejemplo, cuando se resuelven problemas se buscan
estrategias de solución utilizando razonamientos plausibles y se establecen
concepciones entre diversos conceptos.
Desde los primeros
grados los estudiantes desarrollan sus habilidades de razonamiento al formular
y analizar conjeturas, al representar sus conclusiones lógicas o cuando
justifican sus apreciaciones; conforme avanza en los grados, sus argumentos se
tornan más sofisticados. Este proceso acompaña a la persona toda su vida,
por lo que es conveniente ejercitarlo sistemáticamente a lo largo de toda la
educación básica.
Desde esta
perspectiva seria incorrupto separar procesos, como lamentablemente está
siendo desarrollado en algunos colegios al crear un caso de “razonamiento
matemático” el cual en realidad pretende que el estudiante adiestre en la
solución de ejercicios típicos de los exámenes de admisión a las universidades,
sacrificando así la creatividad y el desarrollo del pensamiento matemático.
INTERPRETACIÓN Y COMUNICACIÓN
En una sociedad en
la cual la información cognitiva y sus representaciones tienen una presencia
cada vez mayor, la habilidad para expresar ideas matemáticas en forma
coherente, tanto a sus padres como a profesores y otras personas, es de vital
importancia.
El lenguaje
matemático ayuda a los estudiantes a desarrollar sus habilidades para
formular y representar ideas matemáticas en forma verbal, grafica o simbólica,
hace referencia también a la capacidad de obtener y cruzar información
proveniente de diferentes fuetes (textos, mapas, gráficos, etc.)
MANEJO DE ALGORITMOS
Los algoritmos
designan el conjunto de acciones, pasos secuenciales previamente establecidos y
formas de actuar para llegar a resolver tareas. Se trata siempre de
proceder prefijadas, efectivas y sistemáticas, las cuales se orientan al logro
de un objetivo específico.
Los algoritmos son
importantes en el proceso de resolución de problemas ya que establecida la
estrategia de solución, sin un conocimiento y culminarlo con éxito.
En cuanto los
estudiantes van resolviendo problemas adquieren confianza en el uso de las
matemáticas, su capacidad de comunicarse matemáticamente va aumentando al igual
que su capacidad para utilizar procesos de más alto nivel. Las
investigaciones que han reconocido la resolución de problemas como una
actividad muy importante para aprender matemáticas, propone considerar en el
currículo escolar de matemáticas aspectos como los siguientes:
- Formulación
de problemas a partir de situaciones dentro y fuera de las matemáticas.
- Desarrollo
y aplicación de diversas estrategias para resolver problemas.
- Verificación
e interpretación de resultados a luz del problema original.
- Generalización de soluciones y estrategias
para nuevas situaciones de problemas.
- Adquisición de confianza en el uso
significativo de las matemáticas.
El reconocimiento
que se le ha dado a la actividad de resolver problemas en el desarrollo de las
matemáticas ha originado algunas propuestas sobre su enseñanza, entre las
cuales las más conocidas son las de los investigadores (Polya y Alan
Schoenfeld).
Para Polya
“resolver un problema es encontrar un camino allí donde no se conocía
previamente camino alguno, encontrar la forma de salir de una dificultad,
encontrar la forma de sortear un obstáculo, conseguir el fin deseado, que no es
conseguirle de forma inmediata, utilizando los medios adecuados”.
Polya describió
las siguientes 4 fases para resolver problemas:
1. Comprensión
del problema
2. Concepción de un plan
3. Ejecución del plan
4. Visión retrospectiva
Para cada fase
sugiere una serie de preguntas que el estudiante se puede hacer, o de aspectos
que debe considerar para avanzar en la resolución del problema, para utilizar
el razonamiento heurístico, el cual se considera como la estrategias para
avanzar en problemas desconocidos y no usuales, como dibujar figura, introducir
una notación adecuada, aprovechar problemas relacionados, explorar analogías,
trabajar con problemas auxiliares, reformular el problema, generalizar,
especializar, variar el problema, trabajar hacia atrás.
Aunque los
matemáticos reconocen en los trabajos de Polya actividades que ellos mismos
realizan al resolver problemas, también plantean que las estrategias de
pensamientos heurísticos resultan demasiado abstractas y generales para el estudiante.
Alan Schoenfeld
reconoce el potencial de las estrategias discutidas por Polya, pero dice que
los estudiantes no las usan. Su trabajo juega un papel muy importante en
la implementación de las actividades relacionadas con el proceso de resolver problemas,
en el aprendizaje de las matemáticas y se fundamenta en las siguientes
ideas:
- En el
salón de clases hay que propiciar a los estudiantes condiciones similares
a las condiciones que los matemáticos experimentan en el proceso de
desarrollo de las matemáticas. Alan Schoenfeld mencionó que los
estudiantes necesitan aprender matemáticas en un salón de clase que
represente un microcosmo de la cultura matemática, esto es, clases en
donde los valores de las matemáticas como una disciplina con sentido sean
reflejadas en la práctica cotidiana.
- Para entender como los estudiantes intentan
resolver problemas y consecuentemente para proponer actividades que puedan
ayudarlos es necesario discutir problemas en diferentes contextos y
considerar que en proceso de resolver problemas influyen los siguientes
factores:
EL DOMINIO DEL CONOCIMIENTO
Son los
recursos matemáticos con los que cuenta el estudiante y que pueden ser
utilizados en el problema como intuiciones, definiciones, conocimiento informal
del tema, hechos, procedimientos y concepción sobre las reglas para trabajar el
dominio.
ESTRATEGIAS COGNOSCITIVAS
En influyen
métodos heurísticos como descomponer el problema en simples casos, establecer
metas relacionadas, invertir el problema, dibujar diagramas, el uso de material
manipulable, el ensayo y el error, el uso de tablas y listas ordenadas, la
búsqueda de patrones y reconstrucción del problema.
ESTRATEGIAS META COGNOSCITIVAS
Relacionan con el
monitoreo y con el control. Están las decisiones globales con respecto a
la selección e implementación de recurso y estrategias, acciones tales como
planear, evaluar y decidir.
ESTRATEGIAS DE CREENCIAS
Compone de
la visión que se tenga de las matemáticas y de sí mismo. Las creencias
determinan la manera como se aproxima una persona al problema, las técnicas que
usa o evita, el tiempo y el esfuerzo que le dedica, entre otras.
Las creencias
establecen el marco dentro del cual se establecen los recursos, las estrategias
cognitivas y las metacoginitvias (Santos, Luz Manuel, 1992: 22)
La formulación y
solución de problemas permite alcanzar metas significativas en el proceso de
construcción del conocimiento matemático. Citemos algunas:
- Desarrollar habilidad para comunicarse
matemáticamente: Expresar ideas, interpretar y evaluar, representar, usar
conscientemente los diferentes tipos de lenguaje, describir relaciones y
modelar situaciones cotidianas.
- Provocar procesos de investigación que
subyacen el razonamiento matemático; nos estamos
refiriendo precisamente a los procesos del pensamiento matemático: la
manipulación (exploración de ejemplos, casos particulares); la formulación
de conjeturas (núcleo del razonamiento matemático, proponer
sistemáticamente afirmaciones que parecen ser razonable, someterlas a
prueba y estructurar argumentos sobre su validez); la generalización
(descubrir una ley y reflexionar sobre ella); la argumentación ( explicar
el porque, estructurar argumentos para sustentar generalización, someter a
prueba, explorar nuevos caminos).
- Investigar comprensión de conceptos y
procesos matemáticos a través de: reconocimiento de ejemplos y
contraejemplos; uso de diversidad de modelos, diagramas, símbolos para
representarlos, traducción entre distintas formas de representación;
identificación de propiedades y el reconocimiento de condiciones,
ejecución eficiente de procesos, verificación de resultados de un proceso,
justificación de pasos de un proceso, reconocimiento de procesos correctos
e incorrectos, generación de nuevos procesos, etc.
- Investigar estrategias diversas, explorar
caminos alternos y flexibilizar la exploración de ideas matemáticas.
Para lograr estas
metas los estudiantes tiene que discutir sus ideas, negocia, especular sobre
los posibles ejemplos y contraejemplos que ayuden a confirmar o desaprobar sus
ideas.
Para terminar es
preciso aclarar que los trabajos sobre resolución de problemas se consideran
bajo dos perspectivas.
Una es la de
solución de problemas como una interacción o situaciones problemáticas con fine
pedagógicos, ose como estrategia didáctica, a la cual se hizo referencia
anteriormente en la sección “las situaciones problemáticas...” otra es la
capacidad de resolución de problemas como objetivo general del área, ósea como
logro fundamental de toda la educación básica y media, a la cual nos estamos
refiriendo en esta sección. Son dos perspectivas que no se pueden
confundir.
EL RAZONAMIENTO
Dentro del
contexto de planeamiento y resolución de problemas, el razonamiento matemático
tiene que ver estrechamente con las matemáticas como comunicación, como
modelación y como procedimientos.
De manera general,
entendemos por razonar la acción de ordenar ideas en la mente para llegar a una
conclusión.
En el razonamiento
matemático es necesario tener en cuenta de una parte, la edad de los
estudiantes y su nivel de desarrollo y, de otra, que cada logro alcanzado en
conjunto de grados se retoma y amplia en los conjuntos de grados
siguientes. Así mismo, se debe partir de los niveles informales del
razonamiento, en los conjuntos de grados inferiores, hasta llegar a niveles más
elaborados del razonamiento, en los conjuntos de grados superiores.
Además, conviene
enfatizar que el razonamiento matemático debe estar en todo trabajo matemático
de los estudiantes y por consiguiente, este trabajo se debe articular con todas
sus actividades matemáticas.
Razonar en
matemáticas tiene que ver con:
· Dar cuenta del
cómo y del porqué de los procesos que se siguen para llegar a conclusiones.
· Justificar las
estrategias y procedimientos puestos en acción en el tratamiento de problemas.
· Formular
hipótesis, hacer conjeturas y predicciones, encontrar contraejemplos, usar
hechos conocidos, propiedades y relaciones para explicar otro hecho.
· Encontrar
patrones y expresarlo matemáticamente.
· Utilizar en
momentos propios para exponer ideas, comprendiendo que las matemáticas más que
una memorización de reglas y algoritmos son lógicas y potencia en la capacidad
de pensar.
Para favorecer el
desarrollo de este eje se debe:
· Propiciar una
atmósfera que estimule a los estudiantes a explorar, comprobar y aplicar
ideas. Esto implica que los maestros escuchen con atención a sus
estudiantes, orienten el desarrollo de sus ideas y hagan uso extensivo y
reflexivo de los materiales físicos que posibiliten la comprensión de ideas
abstractas.
Crear en al aula
un ambiente que sitúe el pensamiento crítico en el mismo centro del proceso
docente.
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