PLANTEAMIENTO Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

EL LENGUAJE ALGEBRAICO

Utilizando el lenguaje algebraico se puede  expresar simbólicamente diversas  generalizaciones y resolver  diferentes situaciones de la vida cotidiana: En estos casos las letras funcionan como representaciones de relaciones aritmética y de situaciones reales en problemas concretos.

Así es posible representar diferentes enunciados por medio de expresiones algebraicas o interpretarlas para transformarlas en enunciados que representen algún tipo de situación. Expresiones verbales tales como “el doble”, “el triple”, “la mitad”, “la cuarta parte” se pueden expresar en forma algebraica. Por ejemplo

Lenguaje  Verbal	Lenguaje algebraico
Un número determinado	x
El doble de un numero	2x
La mitad de un numero	x/2
Las tres cuartas partes de un numero	3x/4
El triple de un numero aumentado en cinco	3x + 5
La tercera parte  de un número disminuido en  siete	x/3 – 7
La cuarta parte del cuadrado de un numero	X2/4
Tres números consecutivos	X, x +1 ,  x + 2
El cubo de un numero disminuido en sus dos terceras partes	X3  - 2x/3

PLANTEAMIENTO Y RESOLUCION DE PROBLEMAS

Para solucionar problemas relacionado con el planteamiento de ecuaciones, es conveniente tener en cuenta los siguientes pasos.

1.      Interpretación del enunciado. Al leer el enunciado se debe identificar la incógnita del problemas, expresando la información necesaria en termino de dicha incógnita

2.      Planteamiento y resolución de la ecuación. con la información necesaria en término de la incógnita, se plantea la ecuación que relaciona los datos del problema. Luego, se resuelve la ecuación planteada conforme a los criterios, pasos y procedimientos de resolución de ecuación estable cedido anteriormente.

3.      Comprobación de la solución. Se verifica la solución hallada, comprobando que cumple con las condiciones del enunciado del problema

EJERCICIO RESUELTO

1.      Carolina compro un esfero, un lápiz y un borrador por $1.900, el esfero costo el triple de lo que costo  el borrador y el lápiz $200 menos que el  esfero. ¿Cuánto costo cada artículo?

SOLUCION

Interpretación del enunciado

Se asigna  la incógnita al costo del borrador y se expresa el costo de los demás artículos en  función de dicha incógnita. Así,

Borrador: x                              esfero: 3x                               lápiz: 3x -200

Planteamiento y solución de la ecuación

El costo de los tres artículos es de $ 1.900. Así,

X  + 3x  + (3x  -200) = 1.900

    X  + 3x  + 3x – 200 = 1.900

                 X + 3x  +3x = 1900  + 200

                                7x = 2.100

                              X = 2.100/7

                              X  = 300

Al remplazar el valor de la incógnita en cada uno de los datos del problema, se tiene que,

Borrador: 300

Esfero: 3(300) = 900

Lápiz: 3(300) – 200 = 700

Luego, el costo del borrador es de $300, el del esfero $ 900 y el del Lápiz es $700

Comprobación de la solución

La suma de los valores  los tres artículos es  $300 + $900 +$700 = $1.900

2.      Para elegir  el personero de un colegio, se realizó una votación en la cual se registró un total de 560 votos. Miguel obtuvo 75 votos menos que Camilo y 55 votos más que Leonardo. cuantos votos  obtuvo cada candidato?

SOLUCION

Interpretación del enunciado

Se asigna la incógnita al número de votos obtenidos por Miguel y se expresa el número de votos

De los demás candidatos  en función de dicha incógnita.  Así.

Número de votos para Miguel: X

Número de Votos para camilo: x +75

Número de votos para Leonardo: x – 55

Planteamiento y resolución de la ecuación

El total de Voto fue de 560. Así

X + (x + 75) + ( x -55) = 560

X + x + 75  + x – 55 =560

            X + x + x  = 560 – 75 + 55    se hizo transposición de términos semejantes

                         3x= 540                     se hizo reducción de términos semejantes

                        X = 540/3              Se despejo  x

                        X = 180                    se realizó la división

Al remplazar el valor de la incógnita en cada uno de los datos del problema se tiene que,

Número de votos para Miguel: 180

Número de Votos para camilo: 180 +75  = 255

Número de votos para Leonardo: 180 – 55 = 125

Luego miguel obtuvo 180 votos, camilo 255 y Leonardo 125

Comprobación de la solución

 La suma de los votos de los tres candidatos es 180 + 225 + 125 = 560, los cuales satisface las condiciones del problema

PROBLEMAS PROPUESTOS

1.      La edad de un padre es el triple de  la edad de su hijo,  la edad que tenía el padre hace 7 años, era el doble de la edad que tendrá su hijo dentro de 6 años. ¿Qué edad tienen padre e hijo?

2.      La edad de luna es cuatro veces la edad de estrella, si ambas edades suman 75 años. ¿qué edad tiene cada una?

3.      La suma de los ángulos de un triángulo es 180 grados. Si la medida del mayor es 6 veces la del menor y la de menor es 80 gados más  que tercer Angulo ¿Cuánto mide cada Angulo?

4.      La longitud de un rectángulo es  3m más que el doble del ancho. Si su perímetro es 72m, hallar las dimensiones

5.      Un padre  coloca 16 problemas a su hijo con la condición de que por cada problema que resuelva le da $12 y por cada problema que  no resuelva le quita $5, si al final recibe  $ 73. ¿Cuántos problemas resolvió?

6.      La suma de las edades de un padre y  su hijo es 50años. Si en  cinco años el padre tendrá el doble de la edad de su hijo. ¿Qué edad tiene el hijo actualmente?

7.      Un carpintero corto una tabla de madera de 140 cm en tres pedazos , el primer pedazo es 8cm más largo que el doble de la longitud del segundo pedazo  y el tercer pedazo tiene tres veces la longitud del segundo pedazo. Encontrar la longitud de cada pedazo.

COMPETENCIAS EN LA RESOLUCION DE PROBLEMAS

RAZONAMIENTO Y DEMOSTRACIÓN

El razonamiento es una parte integrante del que hacer matemático y está conectado a los otros procesos.  Por ejemplo, cuando se resuelven problemas  se buscan estrategias de solución utilizando razonamientos plausibles y se establecen concepciones entre diversos conceptos.

Desde los primeros grados los estudiantes desarrollan sus habilidades de razonamiento al formular y analizar  conjeturas, al representar sus conclusiones lógicas o cuando justifican sus apreciaciones; conforme avanza en los grados, sus argumentos se tornan más sofisticados.  Este proceso acompaña a la persona toda su vida, por lo que es conveniente ejercitarlo sistemáticamente a lo largo de toda la educación básica.

Desde esta perspectiva seria incorrupto separar  procesos, como lamentablemente está siendo desarrollado en algunos colegios al crear un caso  de “razonamiento matemático” el cual en realidad pretende que el estudiante adiestre en la solución de ejercicios típicos de los exámenes de admisión a las universidades, sacrificando así la creatividad y el desarrollo del pensamiento matemático.

INTERPRETACIÓN Y COMUNICACIÓN                                                                                                        

En una sociedad en la cual la información cognitiva y sus representaciones tienen una presencia cada vez mayor, la habilidad para expresar ideas matemáticas en forma coherente, tanto a sus padres como a profesores y otras personas, es de vital importancia.

El lenguaje matemático ayuda a los estudiantes a desarrollar  sus habilidades para formular y representar ideas matemáticas en forma verbal, grafica o simbólica, hace referencia también a la capacidad de obtener y cruzar información proveniente de diferentes fuetes (textos, mapas, gráficos, etc.) 

MANEJO DE ALGORITMOS

Los algoritmos designan el conjunto de acciones, pasos secuenciales previamente establecidos y formas de actuar para llegar a resolver tareas.  Se trata siempre de proceder prefijadas, efectivas y sistemáticas, las cuales se orientan al logro de un objetivo específico.

Los algoritmos son importantes en el proceso de resolución de problemas ya que establecida la estrategia de solución, sin un conocimiento y culminarlo con éxito.

En cuanto los estudiantes van resolviendo problemas adquieren confianza en el uso de las matemáticas, su capacidad de comunicarse matemáticamente va aumentando al igual que su capacidad para utilizar procesos de más alto nivel.  Las investigaciones que han reconocido la resolución de problemas como una actividad muy importante para aprender matemáticas, propone considerar en el currículo escolar de matemáticas aspectos como los siguientes:

1. Formulación de problemas a partir de situaciones dentro y fuera de las matemáticas.
2. Desarrollo y aplicación de diversas estrategias para resolver problemas.
3. Verificación e interpretación de resultados a luz del problema original.
4. Generalización de soluciones y estrategias para nuevas situaciones de problemas.
5. Adquisición de confianza en el uso significativo de las matemáticas.

El reconocimiento que se le ha dado a la actividad de resolver problemas en el desarrollo de las matemáticas ha originado algunas propuestas sobre su enseñanza, entre las cuales las más conocidas son las de los investigadores (Polya y Alan Schoenfeld). 

Para Polya “resolver un problema es encontrar un camino allí donde no se conocía previamente camino alguno, encontrar la forma de salir de una dificultad, encontrar la forma de sortear un obstáculo, conseguir el fin deseado, que no es conseguirle de forma inmediata, utilizando los medios adecuados”.

Polya describió las siguientes 4 fases para resolver problemas:

1.    Comprensión del problema

2.    Concepción de un plan

3.    Ejecución del plan

4.    Visión retrospectiva

Para cada fase sugiere una serie de preguntas que el estudiante se puede hacer, o de aspectos que debe considerar para avanzar en la resolución del problema, para utilizar el razonamiento heurístico, el cual se considera como la estrategias para avanzar en problemas desconocidos y no usuales, como dibujar figura, introducir una notación adecuada, aprovechar problemas relacionados, explorar analogías, trabajar con problemas auxiliares, reformular el problema, generalizar, especializar, variar el problema, trabajar hacia atrás.

Aunque los matemáticos reconocen en los trabajos de Polya actividades que ellos mismos realizan al resolver problemas, también plantean que las estrategias de pensamientos heurísticos resultan demasiado abstractas y generales para el estudiante.

Alan Schoenfeld reconoce el potencial de las estrategias discutidas por Polya, pero dice que los estudiantes no las usan.  Su trabajo juega un papel muy importante en la implementación de las actividades relacionadas con el proceso de resolver problemas, en el aprendizaje de las matemáticas y se fundamenta en las siguientes ideas: 

1. En el salón de clases hay que propiciar a los estudiantes condiciones similares a las condiciones que los matemáticos experimentan en el proceso de desarrollo de las matemáticas.  Alan Schoenfeld mencionó que los estudiantes necesitan aprender matemáticas en un salón de clase que represente un microcosmo de la cultura matemática, esto es, clases en donde los valores de las matemáticas como una disciplina con sentido sean reflejadas en la práctica cotidiana.
2. Para entender como los estudiantes intentan resolver problemas y consecuentemente para proponer actividades que puedan ayudarlos es necesario discutir problemas en diferentes contextos y considerar que en proceso de resolver problemas influyen los siguientes factores:

EL DOMINIO DEL CONOCIMIENTO                                      

 Son los recursos matemáticos con los que cuenta el estudiante y que pueden ser utilizados en el problema como intuiciones, definiciones, conocimiento informal del tema, hechos, procedimientos y concepción sobre las reglas para trabajar el dominio.

ESTRATEGIAS COGNOSCITIVAS

En influyen métodos heurísticos como descomponer el problema en simples casos, establecer metas relacionadas, invertir el problema, dibujar diagramas, el uso de material manipulable, el ensayo y el error, el uso de tablas y listas ordenadas, la búsqueda de patrones y reconstrucción del problema.

ESTRATEGIAS META COGNOSCITIVAS

Relacionan con el monitoreo y con el control.  Están las decisiones globales con respecto a la selección e implementación de recurso y estrategias, acciones tales como planear, evaluar y decidir.

ESTRATEGIAS DE CREENCIAS

 Compone de la visión que se tenga de las matemáticas y de sí mismo.  Las creencias determinan la manera como se aproxima una persona al problema, las técnicas que usa o evita, el tiempo y el esfuerzo que le dedica, entre otras. 

Las creencias establecen el marco dentro del cual se establecen los recursos, las estrategias cognitivas y las metacoginitvias (Santos, Luz Manuel, 1992: 22)

La formulación y solución de problemas permite alcanzar metas significativas en el proceso de construcción del conocimiento matemático.  Citemos algunas:

1. Desarrollar habilidad para comunicarse matemáticamente: Expresar ideas, interpretar y evaluar, representar, usar conscientemente los diferentes tipos de lenguaje, describir relaciones y modelar situaciones cotidianas.
2. Provocar procesos de investigación que subyacen el razonamiento matemático;  nos      estamos refiriendo precisamente a los procesos del pensamiento matemático: la manipulación (exploración de ejemplos, casos particulares); la formulación de conjeturas (núcleo del razonamiento matemático, proponer sistemáticamente afirmaciones que parecen ser razonable, someterlas a prueba y estructurar argumentos sobre su validez); la generalización (descubrir una ley y reflexionar sobre ella); la argumentación ( explicar el porque, estructurar argumentos para sustentar generalización, someter a prueba, explorar nuevos caminos).
3. Investigar comprensión de conceptos y procesos matemáticos a través de: reconocimiento de ejemplos y contraejemplos; uso de diversidad de modelos, diagramas, símbolos para representarlos, traducción entre distintas formas de representación; identificación de propiedades y el reconocimiento de condiciones, ejecución eficiente de procesos, verificación de resultados de un proceso, justificación de pasos de un proceso, reconocimiento de procesos correctos e incorrectos, generación de nuevos procesos, etc.
4. Investigar estrategias diversas, explorar caminos alternos y flexibilizar la exploración de ideas matemáticas.

Para lograr estas metas los estudiantes tiene que discutir sus ideas, negocia, especular sobre los posibles ejemplos y contraejemplos que ayuden a confirmar o desaprobar sus ideas.

Para terminar es preciso aclarar que los trabajos sobre resolución de problemas se consideran bajo dos perspectivas.

Una es la de solución de problemas como una interacción o situaciones problemáticas con fine pedagógicos, ose como estrategia didáctica, a la cual se hizo referencia anteriormente en la sección “las situaciones problemáticas...” otra es la capacidad de resolución de problemas como objetivo general del área, ósea como logro fundamental de toda la educación básica y media, a la cual nos estamos refiriendo en esta sección.  Son dos perspectivas que no se pueden confundir.

EL RAZONAMIENTO

Dentro del contexto de planeamiento y resolución de problemas, el razonamiento matemático tiene que ver estrechamente con las matemáticas como comunicación, como modelación y como procedimientos.

De manera general, entendemos por razonar la acción de ordenar ideas en la mente para llegar a una conclusión.

En el razonamiento matemático es necesario tener en cuenta de una parte, la edad de los estudiantes y su nivel de desarrollo y, de otra, que cada logro alcanzado en conjunto de grados se retoma y amplia en los conjuntos de grados siguientes.  Así mismo, se debe partir de los niveles informales del razonamiento, en los conjuntos de grados inferiores, hasta llegar a niveles más elaborados del razonamiento, en los conjuntos de grados superiores.

Además, conviene enfatizar que el razonamiento matemático debe estar en todo trabajo matemático de los estudiantes y por consiguiente, este trabajo se debe articular con todas sus actividades matemáticas.

Razonar en matemáticas tiene que ver con:

·         Dar cuenta del cómo y del porqué de los procesos que se siguen para llegar a conclusiones.

·         Justificar las estrategias y procedimientos puestos en acción en el tratamiento de problemas.

·         Formular hipótesis, hacer conjeturas y predicciones, encontrar contraejemplos, usar hechos conocidos, propiedades y relaciones para explicar otro hecho.

·         Encontrar patrones y expresarlo matemáticamente.

·         Utilizar en momentos propios para exponer ideas, comprendiendo que las matemáticas más que una memorización de reglas y algoritmos son lógicas y potencia en la capacidad de pensar. 

Para favorecer el desarrollo de este eje se debe:

·         Propiciar una atmósfera que estimule a los estudiantes a explorar, comprobar y aplicar ideas.  Esto implica que los maestros escuchen con atención a sus estudiantes, orienten el desarrollo de sus ideas y hagan uso extensivo y reflexivo de los materiales físicos que posibiliten la comprensión de ideas abstractas.

Crear en al aula un ambiente que sitúe el pensamiento crítico en el mismo centro del proceso docente.

PROBLEMA

Se entiende por problema, situaciones a las cuales se enfrenta una persona y no hay un camino obvio de solución.

Se sugiere utilizar tipos de problemas mal estructurados, mal definidos o no rutinarios, de manera que le permiten al alumno tomar decisiones, involucrarse y activar conocimientos, habilidades y competencias de mayor relevancia que cuando trabajan con problemas bien definidos (Schoenfeld, 1989, Goldemberg, 2000, Jonassen, 2000c).

Es positivo el manejar estrategias que permitan, resolver los problemas, definiéndose etapas de resolución de problemas. Se destaca la necesidad de uso de estrategias heurísticas, como las denomina Pol ya (1979), o metacoginitvias según Schoenfeld (1985).

Es recomendable utilizar la estrategia de resolución de problemas, al existir numerosas ventajas, tanto a nivel de logro de aprendizajes de la disciplina, como de competencias y habilidades de orden transversal, tal como lo señala Jonassen al citar a Gagne, respecto al que los alumnos aprendan a resolver problemas, es uno de los resultados más importantes en el proceso de aprender para la vida (Jonassen 2000a).

Requiere de habilidades propias de resolución de problemas para trabajar en esta metodología, además de estrategias, se requiere un manejo del conocimiento, en particular el conocimiento matemático, junto con saber cuando y como utilizar las estrategias aprendidas y el manejo Meta cognitivo del proceso.

Es una estrategia compleja de implementar, algunas dificultades y errores comunes a destacar son: la falta de información y claridad de cómo utilizar la estrategia de resolución de problemas; no saber cuando es o no un problema para los alumnos; que tipo de problemas a utilizar; pensar que solo se requiere enseñar estrategias; hacer de la estrategia un contenido; la dificultad de que los alumnos trabajen sobre el uso de estrategias heurísticas, entre otras (Galin, 2001, Lacasa y Herranz, 1995, Pifarré y Sanuy, 2002, Monereo, 2000, Rizo y Campistrous, 2002)..

Al trabajar resolución de problemas en matemática, se destaca el cambio en la forma de trabajo del profesor y los alumnos, es una estrategia que permite lograr aspectos que le son de interés a la disciplina como: que los estudiantes “hablen” y “hagan” matemática; creen nuevo conocimiento; aprendan a saber que conocimientos, procedimientos y procesos heurísticos usar y cuando usarlo; manejar el conocimiento condicional; entre otros (Onrubia Cochera y Barberà, 2001, Schoenfeld, 1989).

Hay cambios importantes en el rol del profesor y del alumno cuando se hace uso de una estrategia de resolución de problemas y en particular hace uso de las TIC. El proceso se centra en el alumno, es este quien tiene una responsabilidad importante en su formación, la literatura se refiere a que es preferible el trabajo en pequeños grupos y el profesor tiene un rol de facilitador, de generación de espacios de trabajo, de ser un modelo de pensamiento, de saber como usar los recursos TIC, donde entrega las responsabilidades correspondientes al alumno y las TIC, respecto a cuales son las tareas que mejor hacen cada uno.

Existe una tendencia importante a utilizar la tecnología, para aprender con ella, usarlas como instrumento cognitivo, instrumentos mentales o como señala Jonassen, “herramientas de la mente”, permitiendo que los alumnos aprendan, con un aprendizaje significativo, descubriendo y construyendo el conocimiento, en forma colaborativa, en ambientes realistas y enriquecidos.

ECUACIONES LINEALES CON UNA INCOGNITA

ECUACIONES LINEALES CON UNA INCOGNITA

Ecuaciones lineales en una variable. Son aquellas donde solo aparece una variable elevada al exponente 1. Puede usarse cualquier letra para denotar la incógnita y los coeficientes son números reales. Mediante transformaciones equivalentes se puede llevar a la forma a x + b = 0 (con a ≠ 0. El dominio de definición o dominio básico de estas ecuaciones son los valores admisibles del dominio de definición de las variables.

Breve historia de las ecuaciones lineales

En los primeros tiempos, que comprende el período de 1700 a. de C. a 1700 d. de C., se caracterizó por la invención gradual de símbolos y la resolución de estas. Dentro de esta etapa encontramos un álgebra desarrollada por los griegos (300 a. de C.), llamada álgebra geométrica, rica en métodos geométricos para resolver ecuaciones algebraicas.
Para llegar al actual proceso de resolución de la ecuación ax + b = c han pasado más de 3 000 años. Los egipcios dejaron en sus papiros (sobre todo en el de Rhid -1.650 a. de C-) multitud de problemas matemáticos resueltos, donde se encuentran algunos que se pueden clasificar como algebraicos, pues no se refieren a ningún objeto concreto. En éstos, de una forma retórica, obtenían una solución realizando operaciones con los datos de forma análoga a como hoy se resuelven dichas ecuaciones.
Las ecuaciones más utilizadas por los egipcios eran de la forma:
x+ax=b
x+ax+bx=0
Donde a, b y c son números conocidos y x la incógnita que ellos denominaban aha o montón.
Una ecuación lineal que aparece en el papiro de Rhid responde al problema siguiente: "Un montón y un séptimo del mismo es igual a 24".
En notación moderna, la ecuación sería: x + 1/7 x = 24 

Los Babilonios (el mayor número de documentos corresponde al periodo 600 a. de C. a 300 d. de C.) casi no le prestaron atención a las ecuaciones lineales, quizás por considerarlas demasiado elementales, y trabajaron más los sistemas de ecuaciones lineales y las ecuaciones de segundo grado.
Los matemáticos griegos no tuvieron problemas con las ecuaciones lineales y, exceptuando a Diofanto (Siglo III d. de C.), no se dedicaron mucho al álgebra, pues su preocupación era mayor por la Geometría.
Sobre la vida de Diofanto aparece en los siglos V o siglo VI un epigrama algebraico que constituye una ecuación lineal:

El epitafio de Diofanto se resuelve a través de una ecuación lineal

§  Transeúnte, ésta es la tumba de Diofanto: es él quien con esta sorprendente distribución te dice el número de años que vivió. Su juventud ocupó su sexta parte, después durante la doceava parte su mejilla se cubrió con el primer vello. Pasó aún una séptima parte de su vida antes de tomar esposa y, cinco años después, tuvo un precioso niño que, una vez alcanzada la mitad de la edad de su padre, pereció de una muerte desgraciada. Su padre tuvo que sobrevivirle, llorándole durante cuatro años. De todo esto, deduce su edad. 

Características de las ecuaciones lineales en una variable

El lenguaje algebraico, como todo lenguaje consta de un sistema de signos, unas relaciones entre ellos para formar frases, una sintaxis y una semántica. El conjunto de signos con sentido forman una frase.
La semántica estudia la correspondencia entre significantes y significados y permite distinguir de entre las frases correctamente formadas, aquellas que tienen significado. La sintaxis algebraica estudia las reglas a que han de someterse los símbolos para formar frases, algebraicamente, correctas.
Hoy día el Álgebra no es “dar significado” a los símbolos, sino otro nivel más allá de eso; tiene que ver con aquellos modos de pensamiento que son esencialmente algebraicos –por ejemplo- manejar lo todavía desconocido, invertir y deshacer operaciones, ver lo general en lo particular. Ser consciente de esos procesos y controlarlos, es lo que significa pensar algebraicamente. 

Reglas de la sintaxis del lenguaje algebraico

1.     Los signos de las operaciones no pueden ir seguidos. 

2.     La letra que designa la incógnita funcionará como un número. 

3.    El signo igual (=) no puede ir al lado del signo de las operaciones. 

4.    Los signos de las operaciones y el de la igualdad no pueden empezar ni acabar frase. 

Dominio básico de una ecuación lineal

Un dominio numérico, se denomina dominio básico de una ecuación lineal, si y solo si este dominio numérico es el dominio de individuos para la variable contenida en la ecuación.
Al sustituir la variable de la ecuación lineal por símbolos que denotan elementos apropiados de su dominio básico, esta ecuación se transforma en una proposición. El conjunto de elementos que la transforma en una proposición verdadera es su conjunto solución.
Una ecuación de la forma a x + b = 0 (con a ≠ 0; a, b Є R) en un dominio básico de solución dado que contenga más de un elemento, tiene: 

1.    Ninguna solución, cuando al sustituir la variable por cada uno de los elementos del dominio básico no se obtiene proposición verdadera alguna.

2.     Exactamente una solución, cuando al sustituir la variable por los elementos del dominio básico, se obtiene una proposición verdadera en un único caso. 

Las transformaciones equivalentes en una ecuación lineal

Toda transformación de una ecuación lineal que no conduce a ningún cambio, en el dominio básico de solución dado, se denomina transformación equivalente de la ecuación.
Dentro de las principales transformaciones equivalentes de las ecuaciones lineales están: 

Las que se realizan en cada miembro de la ecuación. 

Supresión de paréntesis. 

Colocación de paréntesis. 

Simplificación y ampliación de fracciones numéricas. 

Aplicación de la ley conmutativa de la adición y de la multiplicación. 

Agrupación de términos (adición, multiplicación, etcétera). 

Las que se realizan en ambos miembros de la ecuación al mismo tiempo. Estas son transformaciones que se pueden fundamentar mediante la ley de monotonía. 

Adición o sustracción a ambos miembros de la ecuación, de un término T definido para todos los valores de  la variable, que se pueden sustituir en la ecuación. 

Multiplicación o división de ambos miembros de la ecuación por un término, que para todas las sustituciones permisibles de la variable toma valores diferentes de cero. 

Procedimiento de solución de una ecuación lineal en una variable

a.    Por reflexiones lógicas: consiste en determinar cuál es el valor de la variable que satisface la ecuación planteada mediante operaciones que se realizan mentalmente. 

b.    Por un procedimiento algorítmico: consiste en realizar una serie de pasos para obtener la solución, que se pueden seguir como un modelo. 

c.    Formar la ecuación, si parte de una situación problemicas. 

d.    Agrupar términos semejantes en cada miembro de la ecuación. 

e.    Reducir términos semejantes. 

f.        Despejar la variable. 

g.     Calcular el valor de la variable. 

h.    Comprobar que el valor obtenido satisface la ecuación o la situación problemicas. 

i.       Escribir el conjunto solución o dar la respuesta, si partió de una situación problemicas.